| dbo:abstract
|
- A matematikában a Hall-tétel (1935, ) egy kombinatorikai állítás, ami feltételt ad arra, hogy mikor lehet kiválasztani egy adott halmaz valahány nem feltétlenül diszjunkt részhalmazából különböző elemeket. Legyen S = {S1, S2, … } egy (nem feltétlenül megszámlálható) halmaza egy M halmaz véges részhalmazainak. A diszjunkt reprezentáns rendszer (innentől DRR) egy olyan X = {x1, x2, …} halmaza M-beli páronként diszjunkt elemeknek, melyekre |X| = |S|, és minden i-re xi eleme Si-nek teljesül. Az S halmaz teljesíti a Hall-feltételt, ha S minden T = {Ti } részhalmazára: (vagyis bármely n részhalmaz együtt legalább n elemből áll) A Hall-tétel azt állítja, hogy akkor és csak akkor létezik diszjunkt reprezentáns rendszer X = {xi}, ha S teljesíti a Hall-feltételt. Például: Legyen S1 = {1, 2, 3}, S2 = {1, 4, 5}, S3 = {3, 5}. Erre az S = {S1, S2, S3} halmazra, egy megfelelő DRR az {1, 4, 5} (Nem csak ez az egy DRR lehetséges: a {2, 1, 3} ugyanúgy jó lenne). A leggyakoribb példa a Hall-tétel alkalmazására, ha elképzelünk egy-egy n tagú férfiakból, illetve nőkből álló csoportot. Minden nő boldogan hozzámenne a férfiak egy bizonyos részhalmazához, és minden férfi boldogan elvenne bármely nőt, aki hozzá akarna menni. Gondoljuk meg, mikor lenne lehetséges úgy összeházasítani a férfiakat a nőkkel, hogy mindenki boldog legyen. Ha Mi lesz az a halmaza a férfiaknak, akikkel az i-edik nő boldogan összeházasodna, akkor a tétel állítása szerint akkor és csak akkor tudna minden nő boldogan férjhez menni, ha az {Mi} halmazok halmaza kielégíti a Hall-feltételt. A Hall-feltétel jelen esetben bármely részhalmazára a nőknek, azon férfiak száma, akik az -beli nők közül legalább egyet elvennének legyen legalább akkora, mint a nők ezen részhalmazának elemszáma, . Az természetes, hogy a feltétel szükséges, hiszen enélkül nem lenne elég az -beli nők között szétosztható férfi. Annál érdekesebb, hogy a feltétel elégséges is. A tételnek vannak egyéb alkalmazásai is. Például vegyünk egy csomag francia kártyát, és osszuk szét őket 13 darab csoportba, minden csoportba 4-et téve. Ezek után a Hall-tételt használva láthatjuk, hogy lehetséges minden csoportból 1-1 kártyát úgy kiválasztani, hogy a 13 kiválasztott kártya közül minden kártyaértékből pontosan 1 szerepeljen (ász, 2, 3, …, dáma, király). Absztraktabb példaként legyen G egy csoport és H egy véges részcsoportja G-nek. Ekkor a tétel segítségével megmutathatjuk, hogy létezik olyan X halmaz, ami egyaránt DRR-je a H G-beli jobb és bal oldali mellékosztályainak. A tétel a megbízatási problémára is alkalmazható: Adott n alkalmazott halmaza, és mindhez egy lista, hogy kit mire lehet alkalmazni. Akkor és csak akkor tudunk mindenkinek a képességeihez megfelelő munkát adni, ha k (1…n) minden értékére bármely k db lista összesen legalább k db munkát tartalmaz. A még általánosabb problémára, melyben (nem feltétlenül különböző) elemeket kell kiválasztani halmazok egy halmazából, általában csak a csoportaxiómákat feltéve alkalmazhatjuk. (hu)
- A matematikában a Hall-tétel (1935, ) egy kombinatorikai állítás, ami feltételt ad arra, hogy mikor lehet kiválasztani egy adott halmaz valahány nem feltétlenül diszjunkt részhalmazából különböző elemeket. Legyen S = {S1, S2, … } egy (nem feltétlenül megszámlálható) halmaza egy M halmaz véges részhalmazainak. A diszjunkt reprezentáns rendszer (innentől DRR) egy olyan X = {x1, x2, …} halmaza M-beli páronként diszjunkt elemeknek, melyekre |X| = |S|, és minden i-re xi eleme Si-nek teljesül. Az S halmaz teljesíti a Hall-feltételt, ha S minden T = {Ti } részhalmazára: (vagyis bármely n részhalmaz együtt legalább n elemből áll) A Hall-tétel azt állítja, hogy akkor és csak akkor létezik diszjunkt reprezentáns rendszer X = {xi}, ha S teljesíti a Hall-feltételt. Például: Legyen S1 = {1, 2, 3}, S2 = {1, 4, 5}, S3 = {3, 5}. Erre az S = {S1, S2, S3} halmazra, egy megfelelő DRR az {1, 4, 5} (Nem csak ez az egy DRR lehetséges: a {2, 1, 3} ugyanúgy jó lenne). A leggyakoribb példa a Hall-tétel alkalmazására, ha elképzelünk egy-egy n tagú férfiakból, illetve nőkből álló csoportot. Minden nő boldogan hozzámenne a férfiak egy bizonyos részhalmazához, és minden férfi boldogan elvenne bármely nőt, aki hozzá akarna menni. Gondoljuk meg, mikor lenne lehetséges úgy összeházasítani a férfiakat a nőkkel, hogy mindenki boldog legyen. Ha Mi lesz az a halmaza a férfiaknak, akikkel az i-edik nő boldogan összeházasodna, akkor a tétel állítása szerint akkor és csak akkor tudna minden nő boldogan férjhez menni, ha az {Mi} halmazok halmaza kielégíti a Hall-feltételt. A Hall-feltétel jelen esetben bármely részhalmazára a nőknek, azon férfiak száma, akik az -beli nők közül legalább egyet elvennének legyen legalább akkora, mint a nők ezen részhalmazának elemszáma, . Az természetes, hogy a feltétel szükséges, hiszen enélkül nem lenne elég az -beli nők között szétosztható férfi. Annál érdekesebb, hogy a feltétel elégséges is. A tételnek vannak egyéb alkalmazásai is. Például vegyünk egy csomag francia kártyát, és osszuk szét őket 13 darab csoportba, minden csoportba 4-et téve. Ezek után a Hall-tételt használva láthatjuk, hogy lehetséges minden csoportból 1-1 kártyát úgy kiválasztani, hogy a 13 kiválasztott kártya közül minden kártyaértékből pontosan 1 szerepeljen (ász, 2, 3, …, dáma, király). Absztraktabb példaként legyen G egy csoport és H egy véges részcsoportja G-nek. Ekkor a tétel segítségével megmutathatjuk, hogy létezik olyan X halmaz, ami egyaránt DRR-je a H G-beli jobb és bal oldali mellékosztályainak. A tétel a megbízatási problémára is alkalmazható: Adott n alkalmazott halmaza, és mindhez egy lista, hogy kit mire lehet alkalmazni. Akkor és csak akkor tudunk mindenkinek a képességeihez megfelelő munkát adni, ha k (1…n) minden értékére bármely k db lista összesen legalább k db munkát tartalmaz. A még általánosabb problémára, melyben (nem feltétlenül különböző) elemeket kell kiválasztani halmazok egy halmazából, általában csak a csoportaxiómákat feltéve alkalmazhatjuk. (hu)
|
