| dbo:abstract
|
- A „szigorúság forradalma” kifejezés a matematika történetének azt a 19. századra eső időszakát jelenti, amikor a matematika módszereiben és szóhasználatában azt a rá jellemző nagyon precíz és egzakt képét vette föl, amit ma is tapasztalhatunk, ha kinyitunk egy matematikakönyvet. Ugyan az axiomatikus módszer már Euklidesz kora óta látványos, és - mintaszerű volta miatt - kitüntetett jelentőségű objektivitást és tudományosságot biztosított a matematikai vizsgálódásoknak, a kutatási területek terebélyesedése és rohamos fejlődése miatt a ma szokásosnak tartott mértékű egzaktság szinte csak a számelméletre és az euklideszi szerkesztések geometriájára volt jellemző. A 17-18. században még jó eredményeket produkáló matematikai analízisben megjelentek az első ellentmondások. Ellenpéldák bukkantak fel olyan tételekre, melyeket neves szerzők korrektnek hitt módon bebizonyítottak. A helyzet akkor vált mégis tarthatatlanná, amikor kiderült, a furcsaságok és ellentmondások megjelenése nem korlátozódik a módszertanában már a kezdetektől fogva kritizált analízisre. A térgeometriában ellenpéldákat hoztak az Euler-féle poliédertételre. Kiderült, hogy olyan ellentmondásmentes síkgeometria is kidolgozható – valamiféle „görbe síkfelületként” – melyben a háromszög belső szögeinek összege kisebb mint 180° (ez a nemeuklideszi geometria). Hasonló, a szemlélettel, a tudományos tradíciókkal és közfelfogással szemben álló vagy más módon (pl. bizonyos filozófiai alapra helyezkedve) támadható, vitatható, erős kritika alá vett eredmények születtek a valós számok számának végtelenségére vonatkozóan. A matematika egyes módszerei filozófiai vitákhoz is vezettek. George Berkeley egy nevezetes vitairatban (Az analizáló, 1734) támadta meg az analízis korabeli módszereit, amely a végtelen kis mennyiségek explicit használatán alapult. Ez akkoriban nem kis bátorságot, önbizalmat és szakértelmet igényelt, mivel Newton, akinek matematikai eszméit az írás bírálta, feltétlen tekintélynek örvendett. Az írásból bontakozott ki a 18. század matematikájának több kötetre rúgó ún. analízis-vitája. Berkeleyt filozófiai és teológiai elgondolások motiválták, tehát egy jól meghatározható álláspontból indult ki; a szűkebb szakmai kritikai részeit tekintve azonban teljesen jogos bírálat hatására több, kezdetben sikertelen próbálkozás is született a függvénytan infinitezimális módszereinek megalapozására. A később felfedezett függvénytani anomáliák bizonyos mértékig igazolták Berkeley véleményét. A megoldást egyrészt az aritmetizálás, másrészt deduktivizálás, harmadrészt a formalizálás jelentette. Ezek a fogalmak mást és mást jelentenek, de erősen összefüggnek. Az aritmetizálás („számelméletesítés”) során az analízis és a valós számok elméletének bizonytalan fogalmait megpróbálták visszavezetni a természetes számok biztosnak tekinthető elméletére. Később az aritmetika szerepét a halmazelmélet és logika vette át. A geometriai fogalmak helyett (mint pl. az érintő) számváltozókat tartalmazó képleteket használtak, ahol csak lehetett: a differenciálhányados, mint egy görbét érintő egyenes, értelmezését így váltotta fel az epszilon-delta számításokra alapuló határértékes fogalom; a végtelen kis számokat jelölő differenciálmennyiségek pedig puszta formalitássá váltak. A deduktivizálás („levezetéselvűvé alakítás”) a szigorú bizonyításelemzés módszerét jelentette, amely euklideszi mintára csekély számú alapvetőbb fogalomból és alapállításból építette fel az elméleteket, kizárva így az elhamarkodott téves következtetéseket, általánosításokat. A fellépésétől kezdve az aritmetika mint báziselmélet szerepét egyre inkább a logika vette át annak ellenére, hogy a logicista program bizonyos értelemben kudarcosnak bizonyult. Az axiómákat már nem úgy választották meg, hogy az alapvető sarkkőnek tekinthető állításokat rögzítették, hanem hogy pontról pontra megvizsgálták, hogy a konkrét bizonyítások során milyen előfeltevések szükségesek a tételek állításának igazolásához. A formalizálás („képletesítés”) a tér- és időszemlélettől, a „józan” formaérzéktől és a matematikai tételeket fizikailag motiváló tartalomtól való tudatos elszakadást jelentette, amely a vizuálisan belátható megállapítások helyett a deduktív bizonyítások aritmetikai, illetve logikai szerkezetére alapozott. E folyamatok eredményeképp szinte minden, ami a matematikában vizuális jellegű volt, a huszadik század második felére fokozatosan kiszorult a felsőbb matematikából. A teljesen tudatos átalakítás célja az volt, hogy megszüntessék a megbízhatatlannak és filozófiailag töltöttnek számító tér- és időszemléletre hivatkozást. Ennek a folyamatnak a társadalmilag hátrányos hatásai csak a huszadik század legvégén váltak igazán nyilvánvalóvá. Ezen módszerek tudatos, de fokozatos uralkodóvá válását nevezte Lakatos Imre a szigorúság forradalmának, amellyel a korszak névadójává vált. (hu)
- A „szigorúság forradalma” kifejezés a matematika történetének azt a 19. századra eső időszakát jelenti, amikor a matematika módszereiben és szóhasználatában azt a rá jellemző nagyon precíz és egzakt képét vette föl, amit ma is tapasztalhatunk, ha kinyitunk egy matematikakönyvet. Ugyan az axiomatikus módszer már Euklidesz kora óta látványos, és - mintaszerű volta miatt - kitüntetett jelentőségű objektivitást és tudományosságot biztosított a matematikai vizsgálódásoknak, a kutatási területek terebélyesedése és rohamos fejlődése miatt a ma szokásosnak tartott mértékű egzaktság szinte csak a számelméletre és az euklideszi szerkesztések geometriájára volt jellemző. A 17-18. században még jó eredményeket produkáló matematikai analízisben megjelentek az első ellentmondások. Ellenpéldák bukkantak fel olyan tételekre, melyeket neves szerzők korrektnek hitt módon bebizonyítottak. A helyzet akkor vált mégis tarthatatlanná, amikor kiderült, a furcsaságok és ellentmondások megjelenése nem korlátozódik a módszertanában már a kezdetektől fogva kritizált analízisre. A térgeometriában ellenpéldákat hoztak az Euler-féle poliédertételre. Kiderült, hogy olyan ellentmondásmentes síkgeometria is kidolgozható – valamiféle „görbe síkfelületként” – melyben a háromszög belső szögeinek összege kisebb mint 180° (ez a nemeuklideszi geometria). Hasonló, a szemlélettel, a tudományos tradíciókkal és közfelfogással szemben álló vagy más módon (pl. bizonyos filozófiai alapra helyezkedve) támadható, vitatható, erős kritika alá vett eredmények születtek a valós számok számának végtelenségére vonatkozóan. A matematika egyes módszerei filozófiai vitákhoz is vezettek. George Berkeley egy nevezetes vitairatban (Az analizáló, 1734) támadta meg az analízis korabeli módszereit, amely a végtelen kis mennyiségek explicit használatán alapult. Ez akkoriban nem kis bátorságot, önbizalmat és szakértelmet igényelt, mivel Newton, akinek matematikai eszméit az írás bírálta, feltétlen tekintélynek örvendett. Az írásból bontakozott ki a 18. század matematikájának több kötetre rúgó ún. analízis-vitája. Berkeleyt filozófiai és teológiai elgondolások motiválták, tehát egy jól meghatározható álláspontból indult ki; a szűkebb szakmai kritikai részeit tekintve azonban teljesen jogos bírálat hatására több, kezdetben sikertelen próbálkozás is született a függvénytan infinitezimális módszereinek megalapozására. A később felfedezett függvénytani anomáliák bizonyos mértékig igazolták Berkeley véleményét. A megoldást egyrészt az aritmetizálás, másrészt deduktivizálás, harmadrészt a formalizálás jelentette. Ezek a fogalmak mást és mást jelentenek, de erősen összefüggnek. Az aritmetizálás („számelméletesítés”) során az analízis és a valós számok elméletének bizonytalan fogalmait megpróbálták visszavezetni a természetes számok biztosnak tekinthető elméletére. Később az aritmetika szerepét a halmazelmélet és logika vette át. A geometriai fogalmak helyett (mint pl. az érintő) számváltozókat tartalmazó képleteket használtak, ahol csak lehetett: a differenciálhányados, mint egy görbét érintő egyenes, értelmezését így váltotta fel az epszilon-delta számításokra alapuló határértékes fogalom; a végtelen kis számokat jelölő differenciálmennyiségek pedig puszta formalitássá váltak. A deduktivizálás („levezetéselvűvé alakítás”) a szigorú bizonyításelemzés módszerét jelentette, amely euklideszi mintára csekély számú alapvetőbb fogalomból és alapállításból építette fel az elméleteket, kizárva így az elhamarkodott téves következtetéseket, általánosításokat. A fellépésétől kezdve az aritmetika mint báziselmélet szerepét egyre inkább a logika vette át annak ellenére, hogy a logicista program bizonyos értelemben kudarcosnak bizonyult. Az axiómákat már nem úgy választották meg, hogy az alapvető sarkkőnek tekinthető állításokat rögzítették, hanem hogy pontról pontra megvizsgálták, hogy a konkrét bizonyítások során milyen előfeltevések szükségesek a tételek állításának igazolásához. A formalizálás („képletesítés”) a tér- és időszemlélettől, a „józan” formaérzéktől és a matematikai tételeket fizikailag motiváló tartalomtól való tudatos elszakadást jelentette, amely a vizuálisan belátható megállapítások helyett a deduktív bizonyítások aritmetikai, illetve logikai szerkezetére alapozott. E folyamatok eredményeképp szinte minden, ami a matematikában vizuális jellegű volt, a huszadik század második felére fokozatosan kiszorult a felsőbb matematikából. A teljesen tudatos átalakítás célja az volt, hogy megszüntessék a megbízhatatlannak és filozófiailag töltöttnek számító tér- és időszemléletre hivatkozást. Ennek a folyamatnak a társadalmilag hátrányos hatásai csak a huszadik század legvégén váltak igazán nyilvánvalóvá. Ezen módszerek tudatos, de fokozatos uralkodóvá válását nevezte Lakatos Imre a szigorúság forradalmának, amellyel a korszak névadójává vált. (hu)
|
