| dbo:abstract
|
- Az Euler-féle szám, más néven e szám irracionális. A jelen cikk erre az állításra ad három bizonyítást. Joseph Fourier (1768–1830) francia matematikus bizonyítása az ellentmondáson alapul.Az e felírható numerikus sorok segítségével: Ez az e szám Taylor-sorba fejtése az exponenciális függvény szerint, ahol a kitevő =1.Feltételezzük, hogy e egy racionális szám, a/b formában. Ekkor létezik egy pozitív a és b, és így a e = a/b, ahol b > 1.Definiáljunk egy számot: Ha e racionális, akkor x egész szám,helyettesítsük be e = a/b –t ebbe a definícióba: Az első kifejezés egész, és a szumma minden tagja is egész szám, mert n ≤ b. Ezért x maga is egész szám.Most bebizonyítjuk, hogy 0 < x < 1.Először azt bizonyítjuk be, hogy x szigorúan pozitív:Behelyettesítjük a fenti sorba e kifejezést az x definíciójába: mivel minden tényezőre igaz, hogy n ≤ b, mind kiesik, csak egy marad , mely pozitív.Most bebizonyítjuk, hogy x < 1.Minden tényezőnél, ahol n ≥ b + 1 kapjuk: Ez az egyenlőtlenség minden n ≥ b + 2.-re igaz. A szumma indexét kicserélve k = n – b, és a végtelen mértani sor képletét használva, kapjuk: Mivel nincs 0 és 1 között egész szám, kaptunk egy ellentmondást, és így az e-nek irracionálisnak kell lennie. Q.E.D. Egy másik bizonyítás szerint:Az előzőekből kiindulva: Ez az egyenlőtlenség ekvivalens azzal, hogy b.x < 1. Ez viszont lehetetlen, mert b' és x természetes számok. A harmadik bizonyítás egy némileg általánosabb lemmán alapszik.
* Az integrál additív , vagyis diszjunkt szakaszokon integrálva és ezeket összegezve az egész szakaszon vett integrált kapjuk: I, J diszjunkt.
* A módszere: f és g folytonosan differenciálható.
* Ha g és h valós polinomok, és tetszőleges valós a számraakkor g és h is azonosan nulla.
* minden valós c számra.
* Az α valós szám erősen approximálható, ha minden ε>0-hoz van u és v egész szám, és egy |δ| < ε szám, hogy Minden ilyen α valós szám irracionális. Fordítva ez az összefüggés nem teljesül, mivel az ilyen számok megszámlálhatóan sokan vannak. (hu)
- Az Euler-féle szám, más néven e szám irracionális. A jelen cikk erre az állításra ad három bizonyítást. Joseph Fourier (1768–1830) francia matematikus bizonyítása az ellentmondáson alapul.Az e felírható numerikus sorok segítségével: Ez az e szám Taylor-sorba fejtése az exponenciális függvény szerint, ahol a kitevő =1.Feltételezzük, hogy e egy racionális szám, a/b formában. Ekkor létezik egy pozitív a és b, és így a e = a/b, ahol b > 1.Definiáljunk egy számot: Ha e racionális, akkor x egész szám,helyettesítsük be e = a/b –t ebbe a definícióba: Az első kifejezés egész, és a szumma minden tagja is egész szám, mert n ≤ b. Ezért x maga is egész szám.Most bebizonyítjuk, hogy 0 < x < 1.Először azt bizonyítjuk be, hogy x szigorúan pozitív:Behelyettesítjük a fenti sorba e kifejezést az x definíciójába: mivel minden tényezőre igaz, hogy n ≤ b, mind kiesik, csak egy marad , mely pozitív.Most bebizonyítjuk, hogy x < 1.Minden tényezőnél, ahol n ≥ b + 1 kapjuk: Ez az egyenlőtlenség minden n ≥ b + 2.-re igaz. A szumma indexét kicserélve k = n – b, és a végtelen mértani sor képletét használva, kapjuk: Mivel nincs 0 és 1 között egész szám, kaptunk egy ellentmondást, és így az e-nek irracionálisnak kell lennie. Q.E.D. Egy másik bizonyítás szerint:Az előzőekből kiindulva: Ez az egyenlőtlenség ekvivalens azzal, hogy b.x < 1. Ez viszont lehetetlen, mert b' és x természetes számok. A harmadik bizonyítás egy némileg általánosabb lemmán alapszik.
* Az integrál additív , vagyis diszjunkt szakaszokon integrálva és ezeket összegezve az egész szakaszon vett integrált kapjuk: I, J diszjunkt.
* A módszere: f és g folytonosan differenciálható.
* Ha g és h valós polinomok, és tetszőleges valós a számraakkor g és h is azonosan nulla.
* minden valós c számra.
* Az α valós szám erősen approximálható, ha minden ε>0-hoz van u és v egész szám, és egy |δ| < ε szám, hogy Minden ilyen α valós szám irracionális. Fordítva ez az összefüggés nem teljesül, mivel az ilyen számok megszámlálhatóan sokan vannak. (hu)
|
