| dbo:abstract
|
- Az egyenlet a matematikában összekapcsolt két . A két kifejezést az egyenlet bal és jobb oldalának nevezzük. Az egyenlet az algebra, sőt az egész matematika egyik legfontosabb fogalma. Például egy egyszerűbb egyenlet, melynek bal oldala a „3 · |x| + 1” kifejezés, jobb oldala pedig az egyetlen számból álló „2” kifejezés. Az ismeretlenek előtt álló állandó szorzókat gyakran az egyenlet együtthatóinak nevezzük. Mint ahogy a kifejezések, ebből következően az egyenletek is többnyire (bár nem kötelezően) változókat vagy határozatlan mennyiségeket is tartalmaznak, melyeket ismeretleneknek nevezünk (a fenti példában az „” az ismeretlen). Az egyenletek, ill. egyenlőtlenségek többnyire kétféle alapvető helyzetben szoktak előkerülni: 1.
* Egy, akár elméleti, akár gyakorlati probléma megfogalmazása során számszerű összefüggéseket sikerül feltárni a problémával kapcsolatos legfontosabb mennyiségeket leíró változók között, és a probléma valamely paraméterek konkrét értékének megkeresését igényli (például mennyi festékmennyiség kell adott területű fal lefestéséhez). Ez tipikusan a matematika alkalmazásának szituációja. Ilyenkor az egyenletek van a hangsúly. 2.
* Inkább elméleti igényű az a feladat, amikor valamilyen - nem feltétlenül absztrakt - struktúra általános, mennyiségi jellegű leírása a cél. Például a mechanikai testek mozgása , a hővezetés differenciálegyenletekkel stb. írható le a fizikában, a matematikában pedig a geometriai alakzatok adhatóak meg egyenletekkel (pl. egy origó középpontú, 1 sugarú kör egyenlete ). Ilyenkor az egyenletek által leírt összefüggések egyrészt akár fontosabbak is lehetnek, mint a megoldásuk, másrészt a megoldás folyamata meg is fordulhat (például egy parabola egyenletét felírva, a megoldáshalmaz adott, és ehhez kell egyenletet keresni). Ha mást nem mondunk, akkor az egyenletekben szereplő műveleti jelek és függvényjelek a valós vagy komplex számokon értelmezett szokásos műveletek és függvények, a számok valós ill. komplex számok, és az ismeretlenek értéke is valós vagy komplex. Azonban természetesen más struktúrákban is értelmezhető az egyenlet fogalma (amint ezt a hővezetés differenciálegyenleteinek példája is mutatja). Az egyenlet értelmezése és megoldása függ az illető alaphalmaztól, melyben értelmezve van. Például a egyenletnek egészen más a jelentése és a megoldása, ha 1.
* az egész számokon 2.
* a valós számokon 3.
* a maradékosztály felett értelmezzük. Ugyanis az első esetben nincs megoldás, a második esetben egy megoldás van, , a harmadik esetben két megoldás van: és ). Egy egyenletnek tehát csak adott struktúrán belül van jelentése. (hu)
- Az egyenlet a matematikában összekapcsolt két . A két kifejezést az egyenlet bal és jobb oldalának nevezzük. Az egyenlet az algebra, sőt az egész matematika egyik legfontosabb fogalma. Például egy egyszerűbb egyenlet, melynek bal oldala a „3 · |x| + 1” kifejezés, jobb oldala pedig az egyetlen számból álló „2” kifejezés. Az ismeretlenek előtt álló állandó szorzókat gyakran az egyenlet együtthatóinak nevezzük. Mint ahogy a kifejezések, ebből következően az egyenletek is többnyire (bár nem kötelezően) változókat vagy határozatlan mennyiségeket is tartalmaznak, melyeket ismeretleneknek nevezünk (a fenti példában az „” az ismeretlen). Az egyenletek, ill. egyenlőtlenségek többnyire kétféle alapvető helyzetben szoktak előkerülni: 1.
* Egy, akár elméleti, akár gyakorlati probléma megfogalmazása során számszerű összefüggéseket sikerül feltárni a problémával kapcsolatos legfontosabb mennyiségeket leíró változók között, és a probléma valamely paraméterek konkrét értékének megkeresését igényli (például mennyi festékmennyiség kell adott területű fal lefestéséhez). Ez tipikusan a matematika alkalmazásának szituációja. Ilyenkor az egyenletek van a hangsúly. 2.
* Inkább elméleti igényű az a feladat, amikor valamilyen - nem feltétlenül absztrakt - struktúra általános, mennyiségi jellegű leírása a cél. Például a mechanikai testek mozgása , a hővezetés differenciálegyenletekkel stb. írható le a fizikában, a matematikában pedig a geometriai alakzatok adhatóak meg egyenletekkel (pl. egy origó középpontú, 1 sugarú kör egyenlete ). Ilyenkor az egyenletek által leírt összefüggések egyrészt akár fontosabbak is lehetnek, mint a megoldásuk, másrészt a megoldás folyamata meg is fordulhat (például egy parabola egyenletét felírva, a megoldáshalmaz adott, és ehhez kell egyenletet keresni). Ha mást nem mondunk, akkor az egyenletekben szereplő műveleti jelek és függvényjelek a valós vagy komplex számokon értelmezett szokásos műveletek és függvények, a számok valós ill. komplex számok, és az ismeretlenek értéke is valós vagy komplex. Azonban természetesen más struktúrákban is értelmezhető az egyenlet fogalma (amint ezt a hővezetés differenciálegyenleteinek példája is mutatja). Az egyenlet értelmezése és megoldása függ az illető alaphalmaztól, melyben értelmezve van. Például a egyenletnek egészen más a jelentése és a megoldása, ha 1.
* az egész számokon 2.
* a valós számokon 3.
* a maradékosztály felett értelmezzük. Ugyanis az első esetben nincs megoldás, a második esetben egy megoldás van, , a harmadik esetben két megoldás van: és ). Egy egyenletnek tehát csak adott struktúrán belül van jelentése. (hu)
|
