| dbo:abstract
|
- Az elsőrendű nyelvek (vagy másképpen elsőrendű logikai nyelvek) fogalma a matematikai logika egyik legalapvetőbb fogalma. Ezeket, és általában az fogalmát, elsősorban annak modellelmélet nevű ága vizsgálja. Az elsőrendű nyelvek matematikai elméleteinek összefoglaló neve elsőrendű logika. Egy elsőrendű nyelv számos olyan matematikai logikai kifejezés (azaz betűsorozat) halmaza, melyekben a betűk változók (individuum- vagy szubjektumváltozók, függvényváltozók, predikátumváltozók) és logikai jelek, illetve különféle egyéb szimbólumok. A betűk egy speciális halmazból vagy halmazrendszerből, az ből kerülhetnek ki. Az „elsőrendű” kifejezés általában egy , de úton definiált tulajdonságra utal, utóbbi definíció pontatlanul a következő: a függvény- és predikátumváltozók formális argumentumai – melyek szintén változók – nem lehetnek maguk is predikátumváltozók. A pontos szemantikai leírás halmazelméleti eszközökkel tehető meg: a nyelv tehet kijelentéseket az általa vizsgált elmélet, „univerzum” elemeiről, de az elemek tetszőleges halmazáról, vagyis az univerzum hatványhalmazának elemeiről már nem.
* A betűk egy halmaz, az ábécé különféle jelei lehetnek: például ún. individuumváltozók, fajtajelek, műveleti- / függvény- és relációjelek (vagy függvényváltozók és relációváltozók), konstansjelek – ezeken kívül mindegyik elsőrendű nyelv, ahogyan mindegyik logikai nyelv, tartalmaz legalább két logikai jelet (az egyik egy logikai művelet jele, a másik egy kvantor) és két elválasztójelet (általában a közönséges nyitó- és csukó zárójeleket).
* A szabályok megadják, hogy a szimbólumokból hogyan képezzünk olyan sorozatokat, melyeket értelmesnek, azaz a nyelv részeinek tartunk. Ezen szabályokat többféle módszerrel is megfogalmazhatjuk (mi a logikában általánosan használt és legkézenfekvőbbnek tekintett szintaktikus rekurziót alkalmazzuk, de lehetséges halmazelméleti fogalmakra; és/vagy , vagy egyebekre is építeni).
* Maga a nyelv, mint kifejezéseinek halmaza, a betűkből a szabályok segítségével építhető fel. A betűket és szabályokat együtt a nyelv ának nevezzük. Néha az „elsőrendű” kifejezésen pedig az előző tulajdonsággal szoros kapcsolatban álló, de vele mégsem teljesen ekvivalens, szintén szintaktikai jellegű tulajdonságot értenek, tudniillik azt, hogy a nyelv tartalmaz kvantorokat (tehát több mint nulladrendű), de csak az individuumváltozók a valódi, logikai értelemben vett változók. Azaz csak ezek azok, melyek a nyelv által sem egyértelműen meghatározott jelentésűek, vagy ami ezzel szoros kapcsolatban van, csak ezek a kvantifikálható változók; tehát a nyelv még nem másodrendű – mert másodrendű nyelvekben a függvény- és predikátumszimbólumok sem egyértelműen meghatározottak az interpretáció által, hanem kvantifikálhatóak). Az utóbbi két dolog, „interpretációfüggetlenség”/„logikaiság” és kvantifikiálhatóság valóban majdnem ugyanaz, hisz nem-logikai változók kvantifikálása a logikában valóban teljesen értelmetlen/lehetetlen, hiszen ezek egy adott interpretációban konkrét és rögzített jelentést kapnak . Az elsőrendűség jelentős korlátozást jelent mind a természetes nyelvekhez, a köznyelvhez, de még a matematikában az elméletek leírására általában használt formális nyelvhez képest is. Sok probléma azonban egyszerűbben, ugyanakkor még elegendő részletességgel vizsgálható így is. Az elsőrendű nyelveknek rendkívüli szerepük volt az egész modern formalista matematika kifejlődése szempontjából (ld. az elsőrendű nyelvek ). E nyelvek, és általában a logikai nyelvek legközvetlenebb haszna a következtetések elméletének precíz matematikai leírása. Ezen kívül az informatikában is fontos szerepet kapnak mint alkalmazások, hisz sok programnyelv tulajdonképp többé-kevésbé egy elsőrendű nyelvnek tekinthető, legalábbis tartalmaz ilyen nyelvet részként. (hu)
- Az elsőrendű nyelvek (vagy másképpen elsőrendű logikai nyelvek) fogalma a matematikai logika egyik legalapvetőbb fogalma. Ezeket, és általában az fogalmát, elsősorban annak modellelmélet nevű ága vizsgálja. Az elsőrendű nyelvek matematikai elméleteinek összefoglaló neve elsőrendű logika. Egy elsőrendű nyelv számos olyan matematikai logikai kifejezés (azaz betűsorozat) halmaza, melyekben a betűk változók (individuum- vagy szubjektumváltozók, függvényváltozók, predikátumváltozók) és logikai jelek, illetve különféle egyéb szimbólumok. A betűk egy speciális halmazból vagy halmazrendszerből, az ből kerülhetnek ki. Az „elsőrendű” kifejezés általában egy , de úton definiált tulajdonságra utal, utóbbi definíció pontatlanul a következő: a függvény- és predikátumváltozók formális argumentumai – melyek szintén változók – nem lehetnek maguk is predikátumváltozók. A pontos szemantikai leírás halmazelméleti eszközökkel tehető meg: a nyelv tehet kijelentéseket az általa vizsgált elmélet, „univerzum” elemeiről, de az elemek tetszőleges halmazáról, vagyis az univerzum hatványhalmazának elemeiről már nem.
* A betűk egy halmaz, az ábécé különféle jelei lehetnek: például ún. individuumváltozók, fajtajelek, műveleti- / függvény- és relációjelek (vagy függvényváltozók és relációváltozók), konstansjelek – ezeken kívül mindegyik elsőrendű nyelv, ahogyan mindegyik logikai nyelv, tartalmaz legalább két logikai jelet (az egyik egy logikai művelet jele, a másik egy kvantor) és két elválasztójelet (általában a közönséges nyitó- és csukó zárójeleket).
* A szabályok megadják, hogy a szimbólumokból hogyan képezzünk olyan sorozatokat, melyeket értelmesnek, azaz a nyelv részeinek tartunk. Ezen szabályokat többféle módszerrel is megfogalmazhatjuk (mi a logikában általánosan használt és legkézenfekvőbbnek tekintett szintaktikus rekurziót alkalmazzuk, de lehetséges halmazelméleti fogalmakra; és/vagy , vagy egyebekre is építeni).
* Maga a nyelv, mint kifejezéseinek halmaza, a betűkből a szabályok segítségével építhető fel. A betűket és szabályokat együtt a nyelv ának nevezzük. Néha az „elsőrendű” kifejezésen pedig az előző tulajdonsággal szoros kapcsolatban álló, de vele mégsem teljesen ekvivalens, szintén szintaktikai jellegű tulajdonságot értenek, tudniillik azt, hogy a nyelv tartalmaz kvantorokat (tehát több mint nulladrendű), de csak az individuumváltozók a valódi, logikai értelemben vett változók. Azaz csak ezek azok, melyek a nyelv által sem egyértelműen meghatározott jelentésűek, vagy ami ezzel szoros kapcsolatban van, csak ezek a kvantifikálható változók; tehát a nyelv még nem másodrendű – mert másodrendű nyelvekben a függvény- és predikátumszimbólumok sem egyértelműen meghatározottak az interpretáció által, hanem kvantifikálhatóak). Az utóbbi két dolog, „interpretációfüggetlenség”/„logikaiság” és kvantifikiálhatóság valóban majdnem ugyanaz, hisz nem-logikai változók kvantifikálása a logikában valóban teljesen értelmetlen/lehetetlen, hiszen ezek egy adott interpretációban konkrét és rögzített jelentést kapnak . Az elsőrendűség jelentős korlátozást jelent mind a természetes nyelvekhez, a köznyelvhez, de még a matematikában az elméletek leírására általában használt formális nyelvhez képest is. Sok probléma azonban egyszerűbben, ugyanakkor még elegendő részletességgel vizsgálható így is. Az elsőrendű nyelveknek rendkívüli szerepük volt az egész modern formalista matematika kifejlődése szempontjából (ld. az elsőrendű nyelvek ). E nyelvek, és általában a logikai nyelvek legközvetlenebb haszna a következtetések elméletének precíz matematikai leírása. Ezen kívül az informatikában is fontos szerepet kapnak mint alkalmazások, hisz sok programnyelv tulajdonképp többé-kevésbé egy elsőrendű nyelvnek tekinthető, legalábbis tartalmaz ilyen nyelvet részként. (hu)
|
