| dbo:abstract
|
- Euler-féle lineáris differenciálegyenletnek nevezzük a következő egyismeretlenes, másodrendű közönséges differenciálegyenlet-típust: (1) alakú differenciálegyenletet, ahol és állandók. Ha , akkor az egyenlet homogén. Ennek alakja tehát: . (2) Az Euler-féle differenciálegyenlet az előző pontokban megismert módszerekkel is megoldható, ui. , ill. (3) helyettesítéssel állandó együtthatójú differenciálegyenletre vezethető vissza. A (3)-ból és . Behelyettesítve például (2)-be, a , ill. állandó együtthatójú differenciálegyenletet kapjuk.Az Euler-féle homogén differenciálegyenlet az (4) kísérletező feltevéssel is megoldható. Ekkor ; behelyettesítve (2)-be és -val egyszerűsítve, a (5) karakterisztikus egyenletet kapjuk.Ha (5)-nek két különböző valós gyöke van: és , akkor és lineárisan függetlenek, ezért alaprendszert alkotnak. Így a homogén differenciálegyenlet általános megoldása: . (6) Ha (5)-nek két egybeeső gyöke van, akkor a (3) helyettesítés értelmében , s így − ha -gyel jelöljük a kétszeres gyököt − és lesz a két lineárisan független megoldás, aminek és felel meg, vagyis az általános megoldás: . (7) Ha az (5) egyenletnek konjugált komplex gyöke van, akkor a két lineárisan független megoldás: és . Az általános megoldás: , (8) amelynek egyszerűbb alakot adhatunk a következő átalakítással: , s mivel ,, ezért . (9) (hu)
- Euler-féle lineáris differenciálegyenletnek nevezzük a következő egyismeretlenes, másodrendű közönséges differenciálegyenlet-típust: (1) alakú differenciálegyenletet, ahol és állandók. Ha , akkor az egyenlet homogén. Ennek alakja tehát: . (2) Az Euler-féle differenciálegyenlet az előző pontokban megismert módszerekkel is megoldható, ui. , ill. (3) helyettesítéssel állandó együtthatójú differenciálegyenletre vezethető vissza. A (3)-ból és . Behelyettesítve például (2)-be, a , ill. állandó együtthatójú differenciálegyenletet kapjuk.Az Euler-féle homogén differenciálegyenlet az (4) kísérletező feltevéssel is megoldható. Ekkor ; behelyettesítve (2)-be és -val egyszerűsítve, a (5) karakterisztikus egyenletet kapjuk.Ha (5)-nek két különböző valós gyöke van: és , akkor és lineárisan függetlenek, ezért alaprendszert alkotnak. Így a homogén differenciálegyenlet általános megoldása: . (6) Ha (5)-nek két egybeeső gyöke van, akkor a (3) helyettesítés értelmében , s így − ha -gyel jelöljük a kétszeres gyököt − és lesz a két lineárisan független megoldás, aminek és felel meg, vagyis az általános megoldás: . (7) Ha az (5) egyenletnek konjugált komplex gyöke van, akkor a két lineárisan független megoldás: és . Az általános megoldás: , (8) amelynek egyszerűbb alakot adhatunk a következő átalakítással: , s mivel ,, ezért . (9) (hu)
|
