| dbo:abstract
|
- A Gauss-törvény lényegében az elektrosztatika törvényeinek integrális alakú megfogalmazása, mely az E(x) elektromos térerősség és az elektromos töltéssűrűség között teremt kapcsolatot. Tekintsünk egy zárt felület belsejében lévő q ponttöltést! Legyen r a töltés és a felület egyik pontjának távolsága, n a felületnek ebből a pontból kifelé mutató normálisa, dF pedig a tetszőlegesen kicsi felületelem. A q töltés által az adott pontban keltett E elektromos térerősség a felület normálisával Θ szöget zár be. Ekkor fennáll, hogy Az E térerősség vektor a felületelemet a q ponttöltéssel összekötő egyenes irányába mutat, ezért ahol dΩ a felületelem által átfogott térszögtartomány a töltés pontjából nézve. Ezt visszahelyettesítve az első képletbe, azt kapjuk, hogy Ha E normális komponensét integráljuk a teljes felületre (és bevezetjük a felületvektort), akkor az egyetlen ponttöltésre vonatkozó Gauss-törvényt (a Maxwell-egyenletek egyikét) kapjuk: , ha q az S tartományon belül van. (Ha q az S tartományon kívülre esik, a bezárt töltés zérus (q=0), azaz .) Több töltésből álló diszkrét töltésrendszerre Az egyenletben szereplő i index az F felületen belül található töltéseken fut végig. Folytonos ρ(x) töltéssűrűség esetén a Gauss-törvény alakú lesz. Itt V az F felület által határolt zárt tartomány térfogata, azaz F a határfelülete V-nek. A fenti integrális alakban felírt Gauss-tételt a Gauss-Osztrogradszkij-tétel segítségével differenciális alakban is felírhatjuk: Differenciális alakban az elektrosztatikai feladatok közvetlenül megoldhatók. (hu)
- A Gauss-törvény lényegében az elektrosztatika törvényeinek integrális alakú megfogalmazása, mely az E(x) elektromos térerősség és az elektromos töltéssűrűség között teremt kapcsolatot. Tekintsünk egy zárt felület belsejében lévő q ponttöltést! Legyen r a töltés és a felület egyik pontjának távolsága, n a felületnek ebből a pontból kifelé mutató normálisa, dF pedig a tetszőlegesen kicsi felületelem. A q töltés által az adott pontban keltett E elektromos térerősség a felület normálisával Θ szöget zár be. Ekkor fennáll, hogy Az E térerősség vektor a felületelemet a q ponttöltéssel összekötő egyenes irányába mutat, ezért ahol dΩ a felületelem által átfogott térszögtartomány a töltés pontjából nézve. Ezt visszahelyettesítve az első képletbe, azt kapjuk, hogy Ha E normális komponensét integráljuk a teljes felületre (és bevezetjük a felületvektort), akkor az egyetlen ponttöltésre vonatkozó Gauss-törvényt (a Maxwell-egyenletek egyikét) kapjuk: , ha q az S tartományon belül van. (Ha q az S tartományon kívülre esik, a bezárt töltés zérus (q=0), azaz .) Több töltésből álló diszkrét töltésrendszerre Az egyenletben szereplő i index az F felületen belül található töltéseken fut végig. Folytonos ρ(x) töltéssűrűség esetén a Gauss-törvény alakú lesz. Itt V az F felület által határolt zárt tartomány térfogata, azaz F a határfelülete V-nek. A fenti integrális alakban felírt Gauss-tételt a Gauss-Osztrogradszkij-tétel segítségével differenciális alakban is felírhatjuk: Differenciális alakban az elektrosztatikai feladatok közvetlenül megoldhatók. (hu)
|
