| dbo:abstract
|
- A Hardy-egyenlőtlenség diszkrét formája azt mondja ki, hogy ha nemnegatív valósokból álló sorozat és , akkor teljesül, ahol . A szereplő konstans pontos. Összefoglalva, nagyjából arról van szó, hogy egy sorozat hatványösszege (1-nél nagyobb valós kitevő esetén) mindig legalább akkora, mint a sorozat átlagainak hatványösszegének egy konstansszorosa (mely konstans csak a kitevőtől függ). A Hardy-egyenlőtlenség folytonos, integrálos változata: minden olyan f(x) integrálható függvényre, ami sehol sem negatív, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha f(x) = 0 majdnem mindenütt. Az egyenlőtlenség először 1920-ban jelent meg Hardy jegyzetében, bizonyítás nélkül. Az eredeti megfogalmazás az integrálos egyenlőtlenség egy másik alakja volt. Az egyenlőtlenség bizonyítható a Hardy-Littlewood maximálfüggvénnyel és a maximálfüggvények elméletének felhasználásával. Magasabb dimenzióban az egyenlőtlenség szintén teljesül, de ott a konstans szorzó p-n kívül a tartománytól is függ. Konvex tartományokra például vehető 1/4-nek, de vannak sima tartományok, amikre ez a szám kisebb. Sőt, vannak tartományok, amikre ez a szorzó nem pozitív. A tételnek van súlyozott, és nem korlátos tartományra általánosított változata is. Az egyenlőtlenséget alkalmazzák a Markov-folyamatok, és az Lp-terek elméletében. (hu)
- A Hardy-egyenlőtlenség diszkrét formája azt mondja ki, hogy ha nemnegatív valósokból álló sorozat és , akkor teljesül, ahol . A szereplő konstans pontos. Összefoglalva, nagyjából arról van szó, hogy egy sorozat hatványösszege (1-nél nagyobb valós kitevő esetén) mindig legalább akkora, mint a sorozat átlagainak hatványösszegének egy konstansszorosa (mely konstans csak a kitevőtől függ). A Hardy-egyenlőtlenség folytonos, integrálos változata: minden olyan f(x) integrálható függvényre, ami sehol sem negatív, és egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha f(x) = 0 majdnem mindenütt. Az egyenlőtlenség először 1920-ban jelent meg Hardy jegyzetében, bizonyítás nélkül. Az eredeti megfogalmazás az integrálos egyenlőtlenség egy másik alakja volt. Az egyenlőtlenség bizonyítható a Hardy-Littlewood maximálfüggvénnyel és a maximálfüggvények elméletének felhasználásával. Magasabb dimenzióban az egyenlőtlenség szintén teljesül, de ott a konstans szorzó p-n kívül a tartománytól is függ. Konvex tartományokra például vehető 1/4-nek, de vannak sima tartományok, amikre ez a szám kisebb. Sőt, vannak tartományok, amikre ez a szorzó nem pozitív. A tételnek van súlyozott, és nem korlátos tartományra általánosított változata is. Az egyenlőtlenséget alkalmazzák a Markov-folyamatok, és az Lp-terek elméletében. (hu)
|
