| dbo:abstract
|
- A Lebesgue-integrál az integrálfogalom egy lehetséges általánosítása. A kitalálója, francia matematikus a doktori disszertációjában, 1902-ben a róla elnevezett Lebesgue-mértékkel párhuzamosan mutatta be. Az integrál megalkotásánál cél volt, hogy a hagyományos Riemann-integrál esetén fellépő problémákat elkerülhessük vagy feloldhassuk segítségével. A XIX. század végén ugyanis a függvény fogalma jelentős változásokon, főleg bővülésen ment keresztül. A hagyományos, folytonos függvények jelentős osztályai esetén a Riemann-integrál különösebb nehézségek nélkül számolható, azonban Dirichlet és társai munkásságának hála rengeteg olyan függvényt sikerült definiálni, amiknek ugyan a szemlélet megkövetelte az integrál létezését, azonban Riemann szerint nem integrálhatóak. Másrészt főleg a fizika irányából jellemző problémaként jelentkezett, hogy az integrálás és a határérték egymással való felcserélhetőségét nem biztosította a Riemann-integrál. Ezen problémák kiküszöbölésének az egyik módja, hogy az integrált mérhető halmazokkal közelítsük. Ehhez hozzájárult még Lebesgue ötlete: Ne az értelmezési tartományt, hanem az értékkészletet bontsuk fel részekre. Ennek az eljárásnak az előnye, hogy az egyes értékközökhöz intervallumok uniója (vagy valamilyen egyéb halmazok uniója) tartozik, amiknek mérhetősége az integrálás feltétele. Így könnyedén számíthatóak az integráljai egészen „furcsa” függvényeknek is. (hu)
- A Lebesgue-integrál az integrálfogalom egy lehetséges általánosítása. A kitalálója, francia matematikus a doktori disszertációjában, 1902-ben a róla elnevezett Lebesgue-mértékkel párhuzamosan mutatta be. Az integrál megalkotásánál cél volt, hogy a hagyományos Riemann-integrál esetén fellépő problémákat elkerülhessük vagy feloldhassuk segítségével. A XIX. század végén ugyanis a függvény fogalma jelentős változásokon, főleg bővülésen ment keresztül. A hagyományos, folytonos függvények jelentős osztályai esetén a Riemann-integrál különösebb nehézségek nélkül számolható, azonban Dirichlet és társai munkásságának hála rengeteg olyan függvényt sikerült definiálni, amiknek ugyan a szemlélet megkövetelte az integrál létezését, azonban Riemann szerint nem integrálhatóak. Másrészt főleg a fizika irányából jellemző problémaként jelentkezett, hogy az integrálás és a határérték egymással való felcserélhetőségét nem biztosította a Riemann-integrál. Ezen problémák kiküszöbölésének az egyik módja, hogy az integrált mérhető halmazokkal közelítsük. Ehhez hozzájárult még Lebesgue ötlete: Ne az értelmezési tartományt, hanem az értékkészletet bontsuk fel részekre. Ennek az eljárásnak az előnye, hogy az egyes értékközökhöz intervallumok uniója (vagy valamilyen egyéb halmazok uniója) tartozik, amiknek mérhetősége az integrálás feltétele. Így könnyedén számíthatóak az integráljai egészen „furcsa” függvényeknek is. (hu)
|
