| dbo:abstract
|
- A matematikai struktúra a modern, huszadik századi matematika egyik legfontosabb fogalma a halmaz fogalma mellett, melyek teljesen átalakították a matematikát. Maga a struktúra is halmazelméleti fogalom, lényegében egy halmazrendszert jelent, amely egy alaphalmazt, valamint relációk, műveletek és függvények halmazait tartalmazza. A struktúrafogalom alapjául szolgáló halmazelméletet az 1870-es években fedezték fel, ahogyan az első struktúratípusokat is ez időszakban kezdték vizsgálni (például a csoportok elméletének alapjait az 1830-as években rakta le Galois, és halála miatt 1846-ban publikálta ); a struktúrafogalom felfedezésének és fontossága felismerésének (a strukturalista irányzat megalapításának) évét pedig az 1935-re, a francia Bourbaki-csoport megalakulásának időszakára tehetjük. A Bourbaki-csoport strukturalistái rájöttek, hogy a matematika minden tudományága és minden elmélete szinte kivétel nélkül felfogható, mint egy speciális struktúra vagy egy struktúratípus vizsgálata (a legkomolyabb, de nem súlyos kivétel a kombinatorika). A matematika ilyen felfogását nevezzük (matematikadidaktikai) strukturalizmusnak. Lényegében kimondhatjuk, a struktúrafogalom alkalmazásával e matematikuscsoportnak sikerült elérnie legfőbb, kitűzött célját, a modern matematikának az ókori Eukleidészhez hasonlóan precíz és egységes megalapozást adni. Bár konkrét struktúratípusokat már ezt megelőzően is ismertek; az egész matematika egységesítése azonban lassú, és csak a huszadik században betetőződő folyamat volt. Mára egyébként, különféle okok miatt a strukturalizmus, különösen az elemi matematikaoktatásban, visszaszorulóban van, de bizonyosra vehető, hogy még jó ideig ez lesz az a keret, amelyben a matematikai elméletek megfogalmazódnak. Nemcsak a matematikusok kezdenek vizsgálni jelenleg is újabb és újabb struktúratípusokat; hanem ezeket, lévén nem pusztán a valóságtól elrugaszkodott absztrakciók, a matematikán kívül a fizikában és egyéb alkalmazott tudományágakban is felhasználják. Szóhasználati kérdés, de nem teljesen egyértelmű, hogy az izomorf struktúrákat teljesen azonosnak tekintjük-e, például egy mátrixcsoportról mondhatjuk-e, hogy az a harmadrendű diédercsoport, vagy pedig, hogy az egy harmadrendű diédercsoport. Varecza László magyar matematikus ezen a problémán "konkrét struktúra" és az "absztrakt struktúra" fogalompár bevezetésével igyekezett túljutni. Valamely, izomorf struktúrákat tartalmazó halmaz minden eleme egy konkrét struktúra (pl. egy konkrét harmadrendű diédercsoport), míg az összes struktúra osztályának vagy kategóriájának az izomorfia mint osztály-ekvivalenciareláció segítségével képezett osztályfelbontásának az a tagja, amelybe a konkrét harmadrendű diédercsoportok tartoznak, egy absztrakt struktúra. Az absztrakt struktúrákat az izomorfizmus nem képes megkülönböztetni, a konkrétakat, a tartóhalmazok különbözősége miatt, igen. (hu)
- A matematikai struktúra a modern, huszadik századi matematika egyik legfontosabb fogalma a halmaz fogalma mellett, melyek teljesen átalakították a matematikát. Maga a struktúra is halmazelméleti fogalom, lényegében egy halmazrendszert jelent, amely egy alaphalmazt, valamint relációk, műveletek és függvények halmazait tartalmazza. A struktúrafogalom alapjául szolgáló halmazelméletet az 1870-es években fedezték fel, ahogyan az első struktúratípusokat is ez időszakban kezdték vizsgálni (például a csoportok elméletének alapjait az 1830-as években rakta le Galois, és halála miatt 1846-ban publikálta ); a struktúrafogalom felfedezésének és fontossága felismerésének (a strukturalista irányzat megalapításának) évét pedig az 1935-re, a francia Bourbaki-csoport megalakulásának időszakára tehetjük. A Bourbaki-csoport strukturalistái rájöttek, hogy a matematika minden tudományága és minden elmélete szinte kivétel nélkül felfogható, mint egy speciális struktúra vagy egy struktúratípus vizsgálata (a legkomolyabb, de nem súlyos kivétel a kombinatorika). A matematika ilyen felfogását nevezzük (matematikadidaktikai) strukturalizmusnak. Lényegében kimondhatjuk, a struktúrafogalom alkalmazásával e matematikuscsoportnak sikerült elérnie legfőbb, kitűzött célját, a modern matematikának az ókori Eukleidészhez hasonlóan precíz és egységes megalapozást adni. Bár konkrét struktúratípusokat már ezt megelőzően is ismertek; az egész matematika egységesítése azonban lassú, és csak a huszadik században betetőződő folyamat volt. Mára egyébként, különféle okok miatt a strukturalizmus, különösen az elemi matematikaoktatásban, visszaszorulóban van, de bizonyosra vehető, hogy még jó ideig ez lesz az a keret, amelyben a matematikai elméletek megfogalmazódnak. Nemcsak a matematikusok kezdenek vizsgálni jelenleg is újabb és újabb struktúratípusokat; hanem ezeket, lévén nem pusztán a valóságtól elrugaszkodott absztrakciók, a matematikán kívül a fizikában és egyéb alkalmazott tudományágakban is felhasználják. Szóhasználati kérdés, de nem teljesen egyértelmű, hogy az izomorf struktúrákat teljesen azonosnak tekintjük-e, például egy mátrixcsoportról mondhatjuk-e, hogy az a harmadrendű diédercsoport, vagy pedig, hogy az egy harmadrendű diédercsoport. Varecza László magyar matematikus ezen a problémán "konkrét struktúra" és az "absztrakt struktúra" fogalompár bevezetésével igyekezett túljutni. Valamely, izomorf struktúrákat tartalmazó halmaz minden eleme egy konkrét struktúra (pl. egy konkrét harmadrendű diédercsoport), míg az összes struktúra osztályának vagy kategóriájának az izomorfia mint osztály-ekvivalenciareláció segítségével képezett osztályfelbontásának az a tagja, amelybe a konkrét harmadrendű diédercsoportok tartoznak, egy absztrakt struktúra. Az absztrakt struktúrákat az izomorfizmus nem képes megkülönböztetni, a konkrétakat, a tartóhalmazok különbözősége miatt, igen. (hu)
|
